La matematica delle note musicali

Come in tutti gli strumenti a tastiera la pressione di un tasto più a destra del precedente deve (generalmente) produrre un suono più acuto, mentre andando in direzione contraria (verso sinistra) si deve produrre un suono più grave.

L'acutezza (o la gravità) della nota musicale prodotta, cioè la sua altezza, può essere espressa in modo matematicamente preciso misurando la frequenza f dell'onda acustica che si propaga nell'aria.

La velocità del suono è sempre costante e pari a 343 m/s per tutte le onde sonore (in aria secca alla temperatura di 20 °C), ma la frequenza è funzione dell'altezza della nota musicale generata, e viceversa. L'unità di misura della frequenza è l'Hertz (Hz) cioè il numero di cicli al secondo compiuti dall'onda sonora in un determinato (qualsiasi) punto dello spazio in cui essa si stia propagando.

Volendo semplificare molto la questione e quindi posticipando ad una futura trattazione l'affascinante e inestricabile argomento dei temperamenti, è possibile determinare, per ogni nota musicale, la frequenza dell'onda sonora propagata.

La tastiera di un organo a canne, esattamente come quella di un pianoforte, può essere suddivisa in ottave e ogni ottava può essere numerata con un numero crescente da sinistra verso destra.

L'ottava contiene 7 note naturali (tasti diatonici meglio noti come tasti bianchi):

• Do
• Re
• Mi
• Fa
• Sol
• La
• Si

e 5 note alterate (tasti cromatici, meglio noti come tasti neri)

• Do# =  Re♭
• Re#  =  Mi♭
• Fa# =  Sol♭
• Sol# =  La♭
• La# =  Si♭

Ogni ottava è pertanto composta da un totale di 12 diverse note: passando alla 13° nota si salta automaticamente all'ottava successiva. Quella che segue è la sequenza delle note in un'ottava: ogni volta che si va a destra l'altezza del suono aumenta di un semitono.

Do  Do#  Re  Re#  Mi  Fa  Fa#  Sol  Sol#  La  La#  Si

Come possiamo costruire una tabella per le frequenze delle note generate dalla tastiera dell'organo? Seguendo alcune "semplici" regole matematiche:

• per prima cosa dobbiamo fissare un solido punto di riferimento, spesso noto come corista, che è la nota La3 (cioè il La della terza ottava della tastiera) a cui si associa la frequenza di esattamente 440 Hz cioè la frequenza del diapason (si, proprio quella specie di forchettone di metallo che i musicisti non usano per mangiare gli spaghetti ma per accordare gli strumenti, che gente strana 😆)

• ad ogni salto di ottava verso destra deve corrispondere un raddoppio della frequenza dell'onda sonora prodotta e ciò deve valere per qualsiasi tasto:

• ad ogni salto di semitono verso destra la frequenza deve essere incrementata moltiplicandola per la radice dodicesima di due:

L'ultima regola che ho appena descritto è in realtà in grado di "generare" anche quella precedente.

Il numero 2 corrisponde al raddoppio di frequenza che si osserva nel salto di ottava: dato che un'ottava è composta da dodici semitoni, ogni salto di singolo semitono deve contribuire per un dodicesimo rispetto a quello di ottava.

Ecco perché salta fuori la radice dodicesima di due: tale radice si può anche scrivere come due elevato alla un dodicesimo, numero che equivale a poco più di 1,059463.

valore del rapporto di frequenze del semitono equabile

Se parto da una qualsiasi nota la cui frequenza acustica sia pari ad f_n e mi sposto di 12 semitoni verso destra (cioè compio un salto di ottava), posso determinare la frequenza finale moltiplicando la frequenza iniziale per il rapporto di semitono equabile per dodici volte consecutive:

Esempio: voglio determinare la frequenza della nota Mi4 sapendo che la frequenza del corista La3 è 440 Hz.

Sulla tastiera per andare dal La3 al Mi4 devo fare 7 salti di semitono verso destra. Quindi abbiamo:

Inserendo in un programma di fogli di calcolo le formule sopra riportate si ottengono finalmente le frequenze (in Hz) dei 54 tasti. I valori sono leggibili nella terza e ultima colonna della tabella che riporto qui di seguito, mentre la prima colonna riporta il numero progressivo del tasto e la seconda colonna riporta il nome della nota.

La costruzione della pedaliera

Non tutti gli organi a canne dispongono di una pedaliera oppure, se ce l'hanno, non sempre ha dimensioni e proporzioni tali da consentire l'esecuzione di tutta una serie di brani per organo del repertorio barocco.

La pedaliera del mio organo a canne è composta da 30 tasti ed ha una estensione di 2 ottave e ½ (dal Do1 al Fa3) ed è della tipologia diritta piana con tasti paralleli (la più utilizzata nella tradizione organaria tedesca e relativamente semplice da costruire).

Quando si preme un tasto della pedaliera un meccanismo di trasmissione fa sì che venga tirato il corrispondente tasto della tastiera: questo significa che nel mio organo a canne il pedale non è collegato ad un proprio corpo d'organo ma comanda quello del manuale.

Le leve dei tasti sono state ricavate da listelli in legno di abete massello successivamente lavorati con la sega a nastro nelle loro parti terminali nel caso delle leve dei diatonici, mentre le coperture dei tasti cromatici sono parallelepipedi in legno di mogano sapelli adeguatamente smussati.

Il telaio della pedaliera è stato costruito con listelli in abete massello lavorati prima alla sega circolare e poi alla sega a nastro per le decorazioni. Dei tondini in legno di faggio servono a mantenere le code dei tasti nella loro posizione consentendo però il movimento verticale durante l'esecuzione dei brani.

Da una lastra di lamiera in acciaio di recupero ho ricavato delle lamine metalliche che, una volta forate, servono a bloccare il fronte dei tasti in posizione. Il collegamento tra il telaio, le lamine e i tasti è realizzato con dadi e bulloni in acciaio.

Qui di seguito riporto un paio di foto della pedaliera pronta per essere verniciata.

Infine la pedaliera è stata verniciata in tutte le sue parti con apposito impregnante trasparente color ciliegio scuro per le parti in abete e impregnante trasparente incolore per le parti in mogano.

Anche per la pedaliera ho programmato un foglio di calcolo per determinare le posizioni dei punti di foratura del telaio e il controllo delle distanze inter-tasto. Qui di seguito l'immagine dei risultati dei calcoli che ho poi utilizzato in fase di costruzione:

La costruzione della tastiera

Le leve dei tasti sono state ottenute tagliando con la sega a nastro delle tavole in abete lamellare dello spessore di 18 mm, sulle quali ho preventivamente incollato le copertine in noce chiaro: dopo aver riportato il disegno CAD (si veda il post precedente) con la matita sulla tavola lamellare, ho eseguito i tagli lungo le linee disegnate.

Tagliando un listello in mogano sapelli di adeguate dimensioni ho ricavato i 22 tasti cromatici che ho poi incollato, sempre con colla vinilica, sulle rispettive leve dei tasti.

I modiglioni del telaio della tastiera sono stati ottenuti da due blocchi di mogano sapelli lavorati con la sega a nastro nelle parti frontali, a scopo decorativo.

Le code (cioè le porzioni posteriori delle leve dei tasti) devono rimanere bloccate mentre la parte frontale deve essere libera di muoversi ma solo verticalmente e comunque in misura limitata (pochi millimetri) all'atto della pressione del tasto da parte del musicista.

Ogni movimento orizzontale deve essere evitato, eccetto il minimo gioco essenziale al buon funzionamento di qualsiasi apparato meccanico.

Per fare ciò è necessario utilizzare dei perni metallici che mantengano i tasti nella loro posizione: il listello copricoda in legno farà poi in modo che le code dei tasti non possano muoversi nemmeno verticalmente.

Sempre all'insegna del risparmio per realizzare i perni ho utilizzato dei semplici... chiodi di ferro 😆.

I perni (cioè i chiodi) passano attraverso le asole cioè dei fori di forma oblunga ricavati all'interno delle leve dei tasti. Ogni tasto è attraversato da due perni: uno in prossimità della coda e uno a circa metà della sua lunghezza.

La foto che segue illustra la tastiera montata ma non ancora meccanicamente collegata alla meccanica di trasmissione.

Per motivi estetici il fronte della tastiera è coperto parzialmente dalla cosiddetta serranda che in questo caso è un listello in legno di noce scuro fissato con delle piccole viti in ottone al telaio della tastiera. Tutte le parti visibili dei tasti e del telaio della tastiera sono state prima levigate in modo accurato con carta abrasiva e poi protette con un impregnante trasparente per legno.

In quest'altra immagine è possibile vedere i tasti della tastiera collegati alla meccanica del somiere.

Tale collegamento è possibile grazie a degli occhielli filettati in acciaio zincato avvitati sulle leve dei tasti. Premendo i tasti questi scendono verso il basso e, tramite gli occhielli filettati, tirano i corrispondenti catenacci che nel caso del mio organo a canne sono in legno di koto:

Si tratta di una cosiddetta meccanica sospesa in quanto i tasti sono "sospesi" in aria proprio grazie ai catenacci che li tirano verso l'alto.

I collegamenti tra i vari elementi mobili in legno sono effettuati con del filo di ferro dolce appositamente piegato con delle pinze da elettricista: questa soluzione economica è all'origine di una certa rumorosità della tastiera durante l'esecuzione dei brani.

La progettazione della tastiera

Una delle prime cose da fare nella progettazione di un strumento musicale a tastiera è di determinarne l'estensione cioè fissare il numero di tasti che dovranno essere presenti nello strumento finito.

In genere l'estensione di un organo a canne oscilla tra 4 e 6 ottave a seconda del periodo e del luogo di costruzione.

È bene ricordare che per ogni tasto che si decide di aggiungere si deve mettere in conto la costruzione di un numero di canne pari al numero di registri presenti: ecco perché fare tastiere con un numero di tasti eccessivo può essere antieconomico.

La mia scelta è stata quella di dotare l'organo a canne di una tastiera a 4 ottave e ½ con partenza dal Do1 (nota più grave) fino al Fa5 (nota più acuta), scelta che dovrebbe costituire un buon compromesso tra funzionalità ed economia costruttiva.

Una tastiera di questo tipo conta un totale di 54 tasti il che significa che ogni registro completo dell'organo è composto da 54 canne, una più piccola dell'altra.

Per aumentare il numero di possibili combinazioni foniche durante l'esecuzione dei brani musicali è utile dividere ogni registro in due sotto - registri bassi e soprani in modo da poter attivare o disattivare in modo indipendente alcuni timbri, piuttosto che altri, nelle due parti "alta" e "bassa" della tastiera.

L'immagine che propongo qui sopra rappresenta in modo schematico la tastiera che ho costruito: i primi 30 tasti sono colorati in blu appartenendo alla zona dei bassi mentre i restanti 24 tasti sono colorati in violetto e definiscono la zona dei soprani.

Ricordo inoltre che i tasti diatonici sono quelli che corrispondono ai tasti bianchi della tastiera del pianoforte (Do - Re - Mi - Fa - Sol - La - Si) mentre i tasti cromatici sono quelli che corrispondono ai tasti neri e cioè alle note alterate nella scala di Do Maggiore (note con diesis o bemolle): la tastiera del mio organo a canne di legno possiede quindi 32 tasti diatonici e 22 tasti cromatici

Per quanto riguarda il dimensionamento dei tasti la scelta che ho effettuato a suo tempo è stata quella di copiare le misure di una tastiera elettronica che possedevo in quanto non avevo a disposizione nessun tipo di informazione sulle misure delle tastiere di un vero organo a canne meccanico.

Il progetto CAD 2D che vedete qui sopra rappresenta le misure delle leve dei tasti di una ottava del mio strumento. Scendiamo quindi nel dettaglio delle geometrie dei singoli tasti.

Tasti diatonici

Sono composti da una leva in legno di abete della lunghezza di 30 cm e da una copertura in noce chiaro (juglans regia) di circa 14 cm. Ogni tasto diatonico ha uno spessore massimo finale di 23 mm (18 mm abete + 5 mm noce chiaro) e una larghezza massima di 20 mm. La parte visibile al musicista, a lavoro ultimato, è quella con la copertura in noce.

L'unico tasto diatonico senza incavature laterali è l'ultimo tasto della tastiera cioè il Fa5 in quanto non "confina" con nessun tasto cromatico.

Do(x),  Re(x),  Mi(x)

Fa(x),  Sol(x),  La(x)

Si(x),  Fa(5)

x va da 1 a 5 a seconda dell'ottava cui appartiene il tasto considerato

Tasti cromatici

Sono composti da una leva di abete della lunghezza di 24,5 cm e da una copertura in mogano sapelli (entandrophragma cylindricum) di 8 cm di lunghezza. Ogni tasto cromatico ha uno spessore finale di 32 mm (14 mm abete + 18 mm mogano) e una larghezza di 12 mm. La parte visibile a lavoro ultimato è quella con la copertura in mogano.

Telaio della tastiera

I tasti dell'organo a canne a trasmissione meccanica non sono altro che leve che comandano l'apertura dei ventilabri ai quali sono collegati. Nel caso particolare del mio organo a canne sono delle leve di secondo genere per le quali cioè il fulcro è ad una estremità e la forza motrice è all'estremità opposta.

Il buon Archimede ci ricorda che con una leva si può anche sollevare il mondo ma ci servirà sempre un punto d'appoggio: il telaio della tastiera serve anche a questo ed è composto tra le altre cose da un battente, un bilanciere e un paio di modiglioni laterali che hanno sia funzione decorativa che strutturale.

Per la costruzione dei modiglioni ho usato il mogano sapelli mentre per gli altri elementi è stato sufficiente il più economico abete. Nell'immagine pseudo-CAD che segue (ho usato Paint... 😅) sono riportate le misure del telaio della tastiera assieme ad alcuni dettagli costruttivi.

In quest'altra immagine invece rappresento i risultati del calcolo della posizione dei perni per i tasti diatonici, che ho ottenuto programmando un foglio di calcolo e che mi sono serviti per sapere in quali punti forare il battente e il bilanciere del telaio per il giusto posizionamento dei chiodi di ferro.

NOTA  Una volta costruita la tastiera mi sono reso conto che sarebbe stato più opportuno avere a disposizione tasti più larghi (2-3 mm in più) per poter suonare più agevolmente lo strumento. I problemi maggiori riguardano lo spazio esiguo tra due tasti cromatici contigui: non escludo quindi in futuro una riprogettazione della tastiera con misure più affini a quelle degli organi storici. Pertanto se qualcuno volesse cimentarsi nella costruzione di una tastiera gli consiglio vivamente di prelevare le misure di larghezza dei tasti e distanza inter-tasto da uno strumento (storico o meno) del quale sia prima stata verificata l'effettiva ergonomicità o comunque di riadattare le misure da me proposte in questo post nel senso di una maggiore larghezza (in caso di dubbi contattatemi).