La risonanza di Helmholtz

Secondo il principio della risonanza di Helmholtz l'aria presente all'interno di una cavità può iniziare a vibrare in modo continuo e con una frequenza ben precisa (generando quindi un'onda acustica) se viene adeguatamente eccitata.

Hermann von Helmholtz

(fisico tedesco nato nel 1821 a Potsdam, immagine tratta da Wikipedia)

Ecco qui alcuni esempi di fenomeni quotidiani in cui si può manifestare un fenomeno di risonanza di una massa d'aria presente all'interno di una cavità:

• soffiando delicatamente sul collo di una bottiglia vuota (o semi-vuota) o sull'imboccatura di una cannuccia si produce un suono che può essere un fischio nel caso di risuonatori piccoli o una nota più flautata nel caso di oggetti più grandi

• quando si riempie gradualmente una bottiglia vuota con dell'acqua ad esempio utilizzando la cannella di una fontana si può udire un "suono" che diventa sempre più acuto mano a mano che la bottiglia si riempie, fino a scomparire quando la bottiglia è completamente piena: la frequenza del suono varia, generando una nota sempre più acuta, perché via via che la bottiglia si riempie la quantità d'aria nella bottiglia diminuisce e quindi diminuiscono le dimensioni del risuonatore

• quando si sta viaggiando in automobile e tutti i finestrini sono chiusi eccetto uno che magari è aperto per metà e si verificano determinate condizioni di velocità e di pressione si può improvvisamente iniziare a udire una strana e fastidiosa oscillazione all'interno dell'abitacolo, una sorta di pulsazione che altro non è che un'onda sonora avente frequenza molto bassa (2 - 10 Hz)

In tutti questi casi si genera un'onda acustica il cui valore di frequenza di oscillazione è legato alle dimensioni, alla geometria della cavità risonante e alla modalità di eccitazione della massa d'aria.

La frequenza di risonanza di un risuonatore perfetto di Helmholtz può essere determinata con la formula seguente:

dove:   v è la velocità del suono nell'aria (m/s)

            A l'area della sezione trasversale dell'imboccatura della cavità (m²)

            L è la lunghezza dell'imboccatura della cavità (m)

            V è il volume della cavità (m³)

Costruendo una serie di oggetti cavi di varie dimensioni è quindi possibile costruire uno strumento musicale aerofono che copra tutto l'intervallo di note desiderato.

Per quanto riguarda la modalità di eccitazione della cavità risonante, nel caso delle canne d'organo ad anima è necessario che le stesse siano dotate di una struttura geometrica appositamente progettata allo scopo: questa è la bocca della canna.

La matematica delle note musicali

Come in tutti gli strumenti a tastiera la pressione di un tasto più a destra del precedente deve (generalmente) produrre un suono più acuto, mentre andando in direzione contraria (verso sinistra) si deve produrre un suono più grave.

L'acutezza (o la gravità) della nota musicale prodotta, cioè la sua altezza, può essere espressa in modo matematicamente preciso misurando la frequenza f dell'onda acustica che si propaga nell'aria.

La velocità del suono è sempre costante e pari a 343 m/s per tutte le onde sonore (in aria secca alla temperatura di 20 °C), ma la frequenza è funzione dell'altezza della nota musicale generata, e viceversa. L'unità di misura della frequenza è l'Hertz (Hz) cioè il numero di cicli al secondo compiuti dall'onda sonora in un determinato (qualsiasi) punto dello spazio in cui essa si stia propagando.

Volendo semplificare molto la questione e quindi posticipando ad una futura trattazione l'affascinante e inestricabile argomento dei temperamenti, è possibile determinare, per ogni nota musicale, la frequenza dell'onda sonora propagata.

La tastiera di un organo a canne, esattamente come quella di un pianoforte, può essere suddivisa in ottave e ogni ottava può essere numerata con un numero crescente da sinistra verso destra.

L'ottava contiene 7 note naturali (tasti diatonici meglio noti come tasti bianchi):

• Do
• Re
• Mi
• Fa
• Sol
• La
• Si

e 5 note alterate (tasti cromatici, meglio noti come tasti neri)

• Do# =  Re♭
• Re#  =  Mi♭
• Fa# =  Sol♭
• Sol# =  La♭
• La# =  Si♭

Ogni ottava è pertanto composta da un totale di 12 diverse note: passando alla 13° nota si salta automaticamente all'ottava successiva. Quella che segue è la sequenza delle note in un'ottava: ogni volta che si va a destra l'altezza del suono aumenta di un semitono.

Do  Do#  Re  Re#  Mi  Fa  Fa#  Sol  Sol#  La  La#  Si

Come possiamo costruire una tabella per le frequenze delle note generate dalla tastiera dell'organo? Seguendo alcune "semplici" regole matematiche:

• per prima cosa dobbiamo fissare un solido punto di riferimento, spesso noto come corista, che è la nota La3 (cioè il La della terza ottava della tastiera) a cui si associa la frequenza di esattamente 440 Hz cioè la frequenza del diapason (si, proprio quella specie di forchettone di metallo che i musicisti non usano per mangiare gli spaghetti ma per accordare gli strumenti, che gente strana 😆)

• ad ogni salto di ottava verso destra deve corrispondere un raddoppio della frequenza dell'onda sonora prodotta e ciò deve valere per qualsiasi tasto:

• ad ogni salto di semitono verso destra la frequenza deve essere incrementata moltiplicandola per la radice dodicesima di due:

L'ultima regola che ho appena descritto è in realtà in grado di "generare" anche quella precedente.

Il numero 2 corrisponde al raddoppio di frequenza che si osserva nel salto di ottava: dato che un'ottava è composta da dodici semitoni, ogni salto di singolo semitono deve contribuire per un dodicesimo rispetto a quello di ottava.

Ecco perché salta fuori la radice dodicesima di due: tale radice si può anche scrivere come due elevato alla un dodicesimo, numero che equivale a poco più di 1,059463.

valore del rapporto di frequenze del semitono equabile

Se parto da una qualsiasi nota la cui frequenza acustica sia pari ad f_n e mi sposto di 12 semitoni verso destra (cioè compio un salto di ottava), posso determinare la frequenza finale moltiplicando la frequenza iniziale per il rapporto di semitono equabile per dodici volte consecutive:

Esempio: voglio determinare la frequenza della nota Mi4 sapendo che la frequenza del corista La3 è 440 Hz.

Sulla tastiera per andare dal La3 al Mi4 devo fare 7 salti di semitono verso destra. Quindi abbiamo:

Inserendo in un programma di fogli di calcolo le formule sopra riportate si ottengono finalmente le frequenze (in Hz) dei 54 tasti. I valori sono leggibili nella terza e ultima colonna della tabella che riporto qui di seguito, mentre la prima colonna riporta il numero progressivo del tasto e la seconda colonna riporta il nome della nota.